L'insieme di Mandelbrot
INTRODUZIONE
[...] nel suo sforzo per descrivere il mondo, la scienza procede per serie di immagini o modelli sempre più "realistici". [...] La fisica ha avuto successo perché riesce a individuare numerosi domini in cui immagini del genere sono estremamente utili, in particolare come basi alle quali si aggiungono in seguito dei termini correttivi. Ma in altri domini la realtà si rivela così irregolare, che il modello continuo perfettamente omogeneo perde ogni efficacia e non può nemmeno servire come prima approssimazione. [2]
La fisica è riuscita molto bene a descrivere certi tipi di comportamento: i pianeti in orbita, le navi spaziali che vanno sulla Luna, pendoli, molle e palle che rotolano, quel genere di cose. Il movimento regolare degli oggetti. Tutto ciò viene descritto con le cosiddette equazioni lineari, che noi matematici risolviamo con grande facilità. Lo facciamo da secoli. [3]
La geometria frattale è caratterizzata da due scelte: la scelta di problemi in seno al caos della natura, dato che descrivere tutto il caos sarebbe un’ambizione senza speranza e senza interesse; e la scelta di strumenti matematici, perché cercare delle applicazioni alla matematica, per il semplice fatto che è bella, non ha mai prodotto che delusioni. [4]
[...] sto cercando di stabilire come alcuni paradigmi scientifici siano in grado di modificarsi in paradigmi culturali e manifestarsi nella cultura di genere. Tra i vari aspetti della cultura di genere (sf, horror, poliziesco, rosa...) la sf è l’aspetto che è capace di cogliere gli argomenti del dibattito scientifico e presentarli in forma letteraria. [5]
[...] ci sono altri tipi di situazione in cui la fisica non se la cava altrettanto brillantemente. Per esempio, tutto quello che ha a che fare con la turbolenza. Acqua che sgorga a fiotti. Aria che si muove lungo l’ala di un aereo. Le condizioni meteorologiche. Il sangue che fluisce al cuore. Gli eventi turbolenti vengono espressi con equazioni non lineari. Sono difficili da risolvere... di fatto, spesso sono impossibili. E quindi la fisica non ha mai capito nessuna di queste situazioni complesse. La nuova teoria che li descrive si chiama teoria del caos. La teoria del caos è nata negli anni Sessanta, a partire dai tentativi fatti per creare modelli meteorologici computerizzati. [6]
[...] il cosiddetto insieme di Mandelbrot [...] è una forma geometrica, detta frattale, che è strettamente legata alla teoria del caos e ci fornisce uno splendido esempio di come un’operazione ricorsiva molto semplice possa produrre un oggetto di favolosa varietà e complessità; è generato per applicazione iterata della regola (o funzione) z ® z2 + c, dove z è una variabile complessa e c una costante pure complessa. Tale regola significa semplicemente che il numero complesso z è sostituito da z2 + c, poi si prende quest’ultimo come z e si ripete la stessa sostituzione, e così via. Man mano che si applica la regola si possono rappresentare i numeri complessi così generati come punti su un foglio di carta (o sullo schermo di un computer) [...] ogni scelta di c corrisponde a sua volta a un punto dello schermo, e la collezione di tutti questi punti c forma l’insieme di Mandelbrot.[7]
[...] frattali: forme geometriche autosomiglianti, che si ripetono indefinitivamente, a ogni scala di grandezza e in ogni singolo segmento di curva, e che svolgono il ruolo essenziale di supporto matematico nella modellizzazione dell’evoluzione caotica di un fenomeno. [8]
Ridisegnando la curva frattale i dettagli emergono più chiaramente. [9]
[...] ogni sua parte può essere ingrandita e ringrandita senza limite, e tutti i livelli successivi di risoluzione rivelano ricchezze e delizie nuove. [10]
[...] recentemente ci si è resi conto della
necessità di introdurre una generalizzazione di frattali, per la
descrizione di diversi fenomeni naturali. [11]
UNIVERSO FRATTALE
Visualizziamo solo per un attimo questa immagine "frattale" dell’universo: che il Sole, i pianeti, le altre stelle, le galassie non siano che degli atomi di qualche essere vivente spaventosamente grande, di cui non possiamo neppure immaginare le proporzioni, e che noi siamo spettatori di questa situazione da un semplice atomo di questo essere. Allo stesso modo ogni elettrone del nostro corpo potrebbe essere un mondo a sé, in cui ci sarebbero altri microesseri, con altri atomi, altri elettroni... [12]
Ogni porzione di materia può essere concepita come un giardino pieno di piante e come uno stagno pieno di pesci; ma ogni ramo di pianta, ogni membro di animale, ogni goccia dei loro umori, è ancora un giardino simile, un simile stagno. [13]
Ci sono mondi infiniti all’intero di un mondo infinito. Immagina dunque l’universo come un enorme organismo. All’interno di esso le stelle, che sono mondi, sono come una serie ulteriore di vasti organismi, ciascuno dei quali funziona a sua volta come mondo per popolazioni inferiori come noi, i nostri cavalli ecc. Anche noi, a nostra volta, siamo mondi, dal punto di vista di alcuni organismi incomparabilmente più piccoli di noi, come certi vermi, i pidocchi e i parassiti più minuscoli. Essi poi sono le Terre di altri, ancor più impercettibili... [14]
Secondo le versioni più recenti della teoria
inflazionaria, l’universo, anziché essere una palla di fuoco in
espansione, sarebbe un immenso frattale che cresce continuamente: esso
sarebbe costituito da molte sfere che si rigonfiano, le quali producono
nuove sfere, che a loro volta ne generano altre, all’infinito. [15]
NATURA FRATTALE
Preso un tratto di costa marittima in una regione accidentata, cercheremo di misurarne effettivamente la lunghezza. E’ evidente che la lunghezza è almeno uguale alla distanza in linea retta tra le estremità del nostro tratto di curva; che, se la costa fosse diritta, il problema a questo punto sarebbe già risolto; infine, che una vera costa selvaggia è estremamente sinuosa e, di conseguenza, più lunga della summenzionata distanza in linea retta. Se ne può tenere conto in varie maniere ma, in ogni caso, la lunghezza finale risulterà talmente grande da potersi, senza inconvenienti pratici, considerare infinita. [16]
[...] la geometria frattale sembra descrivere oggetti reali del mondo naturale. Monti e nuvole sono forme frattali. E i frattali sono probabilmente in rapporto con la realtà. In qualche modo [...] Mandelbrot, con i suoi strumenti geometrici, ha fatto un’interessante scoperta. Ha trovato che le cose sembrano quasi identiche in scale differenti. [...] Per esempio, [...] una grande montagna, vista da lontano, ha una sua forma montagnosa e aspra. Andando più vicino ed esaminando un piccolo picco della grande montagna, ritroveremo quella stessa forma. E scendendo via via sino a un frammento di roccia visto al microscopio, ritroveremo sempre la forma frattale di base della montagna. [17]
[...] è possibile, anche con il calcolatore, generare immagini complesse partendo da regole semplici. Si può, per esempio, costruire un albero, iniziando da una semplice regola matematica, che viene rappresentata da un grafico altrettanto semplice. A ogni iterazione della regola, il grafico diventa più complesso e si avvicinerà sempre più alle forme che gli alberi presentano in natura, crescendo in altezza ed aumentando le sue diramazioni. L’albero sarà tanto più interessante quanto maggiore sarà il numero delle generazioni disegnate. [18]
Quando ispezioneremo il Fiocco più da vicino
troveremo che il motivo del tetraedro è ripetuto all’infinito, in
ogni scala. E’ per questo che lo chiamiamo il Fiocco di Neve, [...] non
per la forma, ma perché anche il fiocco di neve è un frattale.
Strutture ricorrenti su ogni scala. [19]
NUOVE FRONTIERE
[...] in natura ci sono sempre numerosi corpi che interagiscono, e non è possibile inquadrare questa complessità in una equazione. Ci troviamo di fronte al caos. Un caos, tuttavia, che ha delle sue regolarità, un suo determinismo. E’ questo, il nuovo paradigma scientifico che si delinea all’orizzonte della ricerca in questi anni. La geometria dei frattali, gli attrattori di Lorentz, per esempio, ne sono una formalizzazione. Si può fare un passo ulteriore. Caos in qualche modo è anche libertà: libertà da leggi troppo semplicistiche, libertà di movimenti e di forme. [20]
[...] vediamo introdursi la matematica in discipline (come la biologia o le scienze umane) in cui essa era precedentemente quasi sconosciuta. [21]
E questa non è solo una rivoluzione matematica,
si arriva ad un modo nuovo di guardare le cose. Riuscire a codificare l’incodificabile,
riuscire a programmare l’improgrammabile. [22]
I FRATTALI NELL’ANALISI SOCIALE
Gaal Dornick, servendosi di concetti non matematici, ha definito la psicostoria come quella branca della matematica che studia le reazioni di un agglomerato umano a determinati stimoli sociali ed economici... [23]
Come organizzare un’azienda ispirandosi alla teoria dei frattali
Facciamo quindi il passo, attraversando i limiti delle nostre presenti immaginazioni ingegneristico-tecnologiche, verso il mondo complesso e affascinante dei frattali. Le loro caratteristiche e i loro potenziali vengono trasferiti nel nostro ambito di concezione: la fabbrica del futuro.
Definizione
Un "frattale" è un’unità aziendale che agisce autonomamente e i cui obiettivi e le cui prestazioni si possono descrivere in modo univoco.
Si è fatta molta teoria a proposito delle dimensioni ottimali di una cellula rivoluzionaria. Credo che la storia dimostri che la cellula di tre persone è la migliore possibile. [...] Ecco lo schema di una cellula a tre. [...] Uno verrebbe scelto come presidente. [...] Noi [tre] conosceremmo altre nove persone, i membri delle tre cellule successive... Ma ogni cellula conoscerebbe solo uno di noi. [25]
C’è un metodo migliore di organizzarsi. [...]
Prendiamo delle cellule e le organizziamo in piramide aperta di tetraedri.
[...] ciascun membro di una cella ne conosce uno di una cellula vicina... [26]
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| Allo Stato competono i tre poteri propri della sovranità: legislativo, esecutivo e giudiziario | Le Regioni svolgono funzioni legislative (limitate) e amministrative | Province e Comuni, benché possano creare "regolamenti", hanno solo funzioni amministrative [27] |
IL CORPO UMANO COME UN FRATTALE
Un frattale consiste di frammenti geometrici di grandezza e orientamento variabile, ma con forma simile. Certi neuroni, per esempio, hanno una struttura simile ai frattali. Se si esaminano tali neuroni a basso ingrandimento si possono osservare ramificazioni asimmetriche, i dendriti, connesse con i corpi cellulari. A ingrandimento leggermente superiore si osservano ramificazioni più piccole a partire da quelle più grandi. Aumentando ulteriormente l’ingrandimento, si può scorgere un altro livello di dettaglio: ramificazioni di ramificazioni di ramificazioni. [28]
Il frattale lseno, di valore reale = 1 e valore immaginario = 0.4, esplose l’insieme di Julia dei neuroni di mia moglie sull’ologramma degli occhiali see-thru. [29]
L’intestino tenue, osservato a ingrandimenti diversi, evoca appunto l’autosomiglianza. [30]
[...] mi resi conto che l’insieme di Mandelbrot utilizzato per riprodurre i progressi della dermatite di mia moglie Carmen era in realtà una mappa dettagliata della sua cavità uterina. La costa interna del lago di Mandelbrot disegnava l’endometrio, dove la curva frattale si frantumava in una polvere di colori attraversando la frontiera dell’insieme di Julia connesso. [31]
Nel corpo umano strutture riconducibili ai frattali sono osservabili nelle reti di vasi sanguigni, di fibre nervose e di strutture canalizzate. Il frattale più attualmente studiato è l’albero bronchiale, il sistema ramificato che trasporta i gas respiratori da e verso i polmoni. [32]
In questa figura una variante della costruzione di Koch viene interpretata come modello di una sezione di un polmone. In realtà, si tratta di un mediocre modello, sufficiente però a mettere in evidenza come le connessioni che permettano a questo organo di stabilire un intimo contatto tra l’aria e il sangue possano essere poste in relazione con il concetto di oggetto frattale. [33]
Carmen ridotta ad una formula matematica. 1/[2cos(p
/4-e /2)]. Rapporto
leggermente inferiore a 0,707 per ogni bronco aperto nel lobo di polmone
precedente. Geometria frattale per il corpo nudo di mia moglie. [34]
UN MODO NUOVO DI VEDERE LE COSE
Il paleontologo americano Stephen Jay Gould ha giustamente evidenziato che la trama della matematica del caos sorregge l’intera impalcatura della narrazione, divisa in sette iterazioni (come "La macchina della realtà" di Gibson & Sterling) che vorrebbero riprodurre la casualità della curva frattale nel definire una realtà complessa. [35]
[...] non concepiamo il cambiamento improvviso, radicale, irrazionale, come qualcosa che appartiene al tessuto stesso della nostra vita. E invece lo è. E la teoria del caos ci insegna [...] che la linearità, che noi diamo per scontata in tutto, dalla fisica alle opere di fantasia, semplicemente non esiste. La linearità è un modo artificiale di vedere il mondo. [36]
Come si può progettare qualcosa per gli esseri umani senza conoscere la storia e la psicologia? E’ impossibile. Perché le formule matematiche possono essere anche perfette, ma la gente può mandare tutto a puttane. [37]
Questo comportamento impulsivo è come una tempesta nel cervello, neuroni sull’orlo del caos. [38]
Connie Willis ha composto un romanzo circolare, [...] una serie di iterazioni sullo stesso argomento per confutare le verità precedenti e aggiungerne di nuove. [...] in Il sogno di Lincoln questo accorgimento di stile nasce dalla necessità di aggiungere ad ogni nuovo passaggio sul medesimo argomento un elemento nuovo, esattamente come accade per l’iterazione nella curva frattale. [39]
Vi rendete conto di quanto limitata sia la nostra comprensione? Da un punto di vista matematico, possiamo descrivere due cose interagenti, come due pianeti nello spazio. Ma descrivere tre cose interagenti - tre pianeti nello spazio - be’... quello diventa un problema. E non riusciamo affatto a descrivere quattro o cinque cose interagenti. E nella cellula ci sono centomila cose che interagiscono. Si deve rinunciare all’impresa. Tutto è talmente complesso che viene da chiedersi come possa verificarsi la vita. Alcuni ritengono che la risposta stia nel fatto che le forme viventi si autorganizzano. La vita crea un suo ordine. Alcuni ritengono che la vita si autorganizzi come un processo di cristallizzazione, ed è così che si raggiunge la complessità. [...] Forse anche le forme viventi sono una forma di cristallizzazione. [40]
Un cristallo perfetto non ha entropia, non contiene
alcuna informazione. Aggiungi il disordine al cristallo e il disordine
contiene informazione. Il disordine perfetto - entropia infinita - equivale
alla massima densità di informazione. [41]
L’ARTE DEI FRATTALI
Portava con sé una borsa di campioni piena di strani cristalli. Erano come il paesaggio, composti di cerchi dentro cerchi, fino alla più piccola scala che l’occhio umano poteva vedere [...] Quando ne prese uno, le sue dita sembravano essere staccate leggermente dalla superficie, come se non lo toccassero, illusione della superficie frattale infinitamente ricurvata. [...] Prese un cristallo. Sembrava unico e bello, con delicati filamenti che ornavano i bordi come in un elaborato fiocco di neve. Unico e bello, proprio come ogni altra cosa in questo strano paesaggio. [42]
[...] l’insieme di Mandelbrot. Tale insieme ha una struttura di una complessità così straordinaria che è impossibile descrivere a parole la sua terribile bellezza, e in molti casi questa o quella sua parte è stata usata per scopi artistici. [43]
Limite del quadrato, una xilografia costruita seguendo uno schema ricorsivo inventato da Escher, illustra l’autosomiglianza. Un insieme di direttive, applicato a un oggetto per produrre nuovi oggetti, poi applicato ai nuovi oggetti per produrne altri ancora e così via all’infinito, è detto algoritmo ricorsivo. Il prodotto finale è autosomigliante quando tutti gli oggetti finali sono identici all’originale, a meno di cambiamenti di scala, orientazione o posizione. [44]
In questa libertà si può riconoscere una creatività, una bellezza. E’ così che attraverso il concetto di caos si può gettare un ponte tra l’arte e la scienza. [45]
Come Kapur lo fissò il Fiocco di Neve parve schiudersi come un fiore; vide strato su strato dettagli ricorrenti; abbozzi di tetraedri impilati che andavano assottigliandosi nel cuore morbido e scuro del manufatto. "E’ magnifico, Mace." [...] Era stupendo, pensò Kapur; stupendo e mostruoso, come la mente di Dio. [46]
Quello che veramente mi interessa è sapere se Dio, quando ha creato il mondo, aveva qualche possibilità di scelta. [47]
1. Paul Davies, The Mind of God, 1992 (trad. it. La mente di Dio, Mondadori, Milano, 1993), p. 107
2. Benoit B. Mandelbrot, Les objets fractals, 1975 (trad. it. Gli oggetti frattali, Einaudi, Torino, 1987), p. 8
3. Michael Crichton, Jurassic Park, 1990 (trad. it. Jurassic Park, Garzanti, Milano, 1990), pp. 100-101
4. Benoit B. Mandelbrot, ibidem, p. 12
5. Domenico Gallo, in una lettera personale a Marco Mocchi del 26 Aprile 1996
6. Michael Crichton, ibidem, p. 101
7. Paul Davies, ibidem, p. 174
8. Alberta Rebaglia, Viva il disordine, in tuttoscienze n° 620, 15 Giugno 1994
9. Michael Crichton, ibidem, p. 111
10. Paul Davies, ibidem, p. 174
11. Luca Peliti e Angelo Vulpiani, Prefazione all’edizione italiana, in Benoit B. Mandelbrot, ibidem, p. XIV
12. Marco Mocchi, Vita da geni, in Future Shock n° 18, Marzo 1996, p. 28
13. Leibniz, Monadologia, 1714 (trad. it. La Nuova Italia, Firenze, 1934 - cit. in Renato Giovannoli, La scienza della fantascienza, 1991, Milano, Bompiani), p. 265
14. Savinien Cyrano, L’Autre monde, 1657-1662 cit. in Renato Giovannoli, La scienza della fantascienza, 1991, Milano, Bompiani, p. 287
15. Andrei Linde, Un universo inflazionario che si autoriproduce, in Le Scienze n° 317, Gennaio 1995
16. Benoit B. Mandelbrot, ibidem, p. 21
17. Michael Crichton, ibidem, p. 216
18. Massimo Spampani, Da calcoli e formule nascono piante, in Corriere della Sera, 30 Ottobre 1990, p. 23
19. Stephen Baxter, The Godel Sunflowers (trad. it. I Girasoli di Godel, in IntercoM n°132/133), p. 40
20. Piero Bianucci, Tra scienza e arte, la libertà del caos, in tuttoscienze n°506, 18 Marzo 1992
21. Renè Thom, Modèles mathématiques de la morphogénèse, 1980 (trad. it. Modelli matematici della morfogenesi, Einaudi, Torino, 1985), p. 120
22. Danilo Santoni, Qualcosa di nuovo, poco tempo dopo, in IntercoM n°132/133, p. 47
23. Isaac Asimov, Foundation, 1951 (trad. it. Fondazione, Mondadori, Milano, 1993)
24. Hans-Jurgen Warnecke, La rivoluzione della cultura aziendale, 1993, Springer-Verlag, Berlino (cit. in Questa fabbrica sembra proprio un frattale, in 2000 giorni al 2000 n°8, Dicembre 1994, p. 7)
25. Robert A. Heinlein, Starship Troopers, 1959 (trad. it. Fanteria dello spazio, Milano, Mondadori, 1962 - cit. in Renato Giovannoli, ibidem, p. 331)
26. Robert A. Heinlein, ibidem - cit. in Renato Giovannoli, ibidem, p. 332
27. Luigi Lacchini e Cinzia Beligni, Cittadini, Legge, economia, 1993, Cedam, Padova, p. 174
28. Ary L. Goldberg, David R. Rigney, Bruce West, Caos e frattali in fisiologia umana, in Le Scienze n°260, Aprile 1990
29. Franco Ricciardiello, Saluti dal lago di Mandelbrot, 1995, in Cyberpunk, a cura di Franco Forte, Stampa Alternativa, p. 8
30. Ary L. Goldberg, David R. Rigney, Bruce West, ibidem
31. Franco Ricciardiello, ibidem pp. 3-4
32. Ary L. Goldberg, David R. Rigney, Bruce West, ibidem
33. Benoit B. Mandelbrot, ibidem p. 40
34. Franco Ricciardiello, ibidem, p. 20
35. Franco Ricciardiello, recensione di Michael Crichton, Jurassic Park, in IntercoM n°134/135
36. Michael Crichton, ibidem, pp. 217-218
37. Michael Crichton, The Lost World, 1995 (trad. it. Il mondo perduto, Garzanti, Milano, 1996)
38. Michael Crichton, ibidem, p. 101
39. Franco Ricciardiello, recensione di Connie Willis, Il sogno di Lincoln, in IntercoM n°142/143
40. Michael Crichton, ibidem, pp. 347-348
41. Geoffrey A. Landis, Farthest Horizons, 1996 in Science Fiction Age, May 1996, p. 52. Il brano originale è il seguente: A perfect crystal has no entropy, stores no information. Add disorder to the crystal, and the disorder contains information. Perfect disorder - infinite entropy - is indistinguishable from maximally dense information.
42. Geoffrey A. Landis, ibidem, pp. 51-53. Il brano originale è il seguente:She brought with her a sample bag filled with odd crystals. They were like landscape, composed of circles within circles, to as small a scale as the eye could see [...] When she picked one up, her fingers seemed to hover infinitesimally away from its surface, not quite touching it, an illusion of the infinitely recurved fractal surface. [...] She picked up a crystal. It seemed unique and beautiful, with delicate filaments feathering the edges like an ornate crystalline snowflake. Unique and beautiful, just exactly like other one all over this strange landscape.
43. Paul Davies, ibidem p. 174
44. Doris Schattschneider, Le metafore di Escher, in Le Scienze, n° 317, Gennaio 1995, p. 55
45. Piero Bianucci, ibidem
46. Stephen Baxter, ibidem, in IntercoM, pp. 40-41
47. Albert Einstein